Les principaux modèles probabilistes de l'évolution des gènes et génomes sont les modèles de substitution de lettres au cours du temp et leurs extensions aux modèles de substitution de motifs.

Il existe quatre hypothèses probabilistes sur le processus de substitution :

• indépendant et identiquement distribué : les transformations d'un site au cours du temps ne sont influencées ni par le site considéré ni par les transformation des autres sites de la léquence (gène ou génome)
• réversible (indifférence au sens du temps) : la probabilité de transformation d'une lettre l₀ en une lettre l₁ pendant le temps t est identique à la probabilité de transformation de l₁ en l₀ pendant le même temps.
• processus de Markov homogène et stationnaire : l'état futur du processus de Markov ne dépend que de l'état présent. Un processus homogène signifie que la probabilité de substitution ne dépend que de la durée de l'intervalle et non de sa position relative sur l'axe du temps. Un processus stationnaire conduit à une distribution constante des états du processus au cours du temps.
• La probabilité de substitution durant un intervalle de temps infinitésimal dt est proportionnelle à la durée. Cette constante de proportionnalité est le taux de substitution. La probabilité que durant dt il y ait deux substitutions ou plus est négligeable par rapport à la probabilité d'avoir une substitution.

Soit α_T = P_T(B→B') la probabilité (taux) de substitution par unité de temps T d'une lettre B en une lttre B', B et B' ∈ {A₁,…A_n} et B≠B'. Soit B une lettre avant le processus de substitution. Quelle est la probabilité P(t) que le site soit occupé par B au temps t?

L'étude des transformation de la lettre B au cours du temps peut se mettre sous forme d'une équation différentielle. Voici le plan de travail :

1. Déterminer la relation de récurrence pour t=0, 1, 2.
2. Déterminer la relation de récurrence P(t+1) vérifiée pour tout t.
3. Déterminer la formulation générale de la relation de récurrence P_B(t+T) vérifiée pour tout t et en introduisant P_B, P_B', P_T, T et plusieurs taux de substitution.
4. Retrouver le cas particulier de P_B(t+T) avec un taux de substitution ¹⁾
5. Déduire P_B(t+T) - P_B(t)
6. Calculer P'_B(t) [dérivé]
7. Déterminer l'approximation entre α_T et α.
8. Simplifier P'_B(t) [avec α?]
9. Déduire la matrice de substitution.
10. Appliquer la méthode de l'équation différentielle linéaire de premier ordre à l'équation différentielle du modèle.
11. Déterminer la probabilité P(t) en fonction de la constante d'intégration c.
12. Calculer (exprimer) c en fonction de P(0).
13. Déterminer (exprimer) la probabilité P(t) en fonction de P(0) [au lieu de c]
14. Déterminer la probabilité P(t) que le site soit occupé par B au temps t.
15. Déterminer la probabilité Q(t) que le site soit occupé par B' ≠ B au temps t.
16. Donner la relation entre P(t) et Q(t).
17. Donner la relation entre x et αt.
18. Déduire la probabilité F(x) que le site soit occupé par B après x substitutions.
19. Déduire la probabilité G(x) que le site soit occupé par B' ≠ B après x substitutions.
20. Constater la relation entre F(x) et G(x)
21. Application sur l'alphabet à deux lettres {R, Y}
22. Application sur l'alphabet à quatre lettres {A, C, G, T}

Ça en fait des étapes!

Soit n le nombre de lettres de l'alphabet. Si on a B en temps 0, et on a α_T, le taux de substitution en un temps de chacune des autres lettres, on aura (n-1)*α_T la probabilité que la lettre ne sera pas B si elle était B au temps précédent (0), et (1-(n-1)α_T) la probabilité que B soit inchangé. Donc,

• P(1) = (1-(n-1)α_T)*P(0)
• P(2) = (1-(n-1)α_T)*P(1) + α_T*(1-P(1))

• P(t+1) = (1-(n-1)α_T)*P(t) + α_T*(1-P(t))
  • = P(t) - n*α_T*P(t) +α_T*P(t) - α_T*P(t)+α_T
  • = P(t) - n*α_T*P(t) +α_T = P(t) - 1*P(t) +α_T = α_T

… vérifiée pour tout t et en introduisant P_B, P_B', P_T, T et plusieurs taux de substitution.

• P_{B}\left(t+T\right) = \left(1-\sum P_{B'} \right)P_{B}\left(t\right) + \alpha \left(\sum P_{B'}\right)
• P_{B}\left(t+T\right) = P_{B}\left(t\right)P_{T}\left(B\rightarrow B\right) + \sum_{B' \neq B} P_{B'}\left(t\right) P_{T}\left(B'\rightarrow B\right)
• P_{T}\left(B\rightarrow B\right) = 1 - \sum_{B\neq B'} P_{T} \left(B \rightarrow B'\right)
• P_{B}\left(t+T\right) = P_{B}\left(t\right)- \sum_{B\neq B'}P_{B}\left(t\right)P_{T}\left(B\rightarrow B'\right) + \sum_{B\neq B'}P_{B'}\left(t\right)P_{T}\left(B'\rightarrow B\right)
  • = P_{B}\left(t\right) +\sum_{B\neq B'}\left[P_{B'}\left(t\right)P_{T}\left(B'\rightarrow B\right) - P_{B}\left(t\right)P_{T}\left(B\rightarrow B'\right)\right]

Soit α_T le taux de substitution unique de P_T(B→B') [ et P_T(B'→B) ]. De la relation précédente nous retrouvons

• \displaystyle P_{B}\left(t+T\right) = P_{B}\left(t\right) +\sum_{B\neq B'}\left[P_{B'}\left(t\right)P_{T}\left(B'\rightarrow B\right) - P_{B}\left(t\right)P_{T}\left(B\rightarrow B'\right)\right]
  • \displaystyle = P_{B}\left(t\right) +\sum_{B\neq B'}\left[P_{B'}\left(t\right)\alpha_{T} - P_{B}\left(t\right)\alpha_{T}\right]
  • \displaystyle = P_{B}\left(t\right) +\alpha_{T}\sum_{B\neq B'}\left[P_{B'}\left(t\right) - P_{B}\left(t\right)\right]
  • \displaystyle = P_{B}\left(t\right) +\alpha_{T}\sum_{B\neq B'}P_{B'}\left(t\right) - \alpha_{T}\sum_{B\neq B'}P_{B}\left(t\right)
  • \displaystyle = P_{B}\left(t\right)\times\left[1- \alpha_{T}\sum_{B\neq B'} 1\right] +\alpha_{T}\sum_{B\neq B'}P_{B'}\left(t\right)
  • \displaystyle = P_{B}\left(t\right)\times\left[1- \alpha_{T}\left(n-1\right)\right] +\alpha_{T}\underbrace{\sum_{B\neq B'}P_{B'}\left(t\right)}_{1-P_{B}\left(t\right)}
  • \displaystyle = P_{B}\left(t\right)\times\left[1- \alpha_{T}\left(n-1\right)\right] +\alpha_{T}\left(1- P_{B}\left(t\right)\right)

Comment fonctionne α_T? Pour T très petit, pas plus d'une substitution peut avoir lieu par lapse de temps, ⇒ α =P(B→B'), α_T = α*T.

Ainsi, nous trouvons

à l'équation différentielle du modèle.

• \int \frac{d}{dt}\left(e^{n\alpha t}P\left(t\right)\right)dt = \int e^{n\alpha t}\cdot \alpha\cdot dt
• e^{n\alpha t}\cdot P\left(t\right) = \int d^{n \alpha t} \cdot \alpha \cdot dt = \frac{1}{n} e^{n\alpha t} + c

• P\left(t\right) =\frac{1}{n}+c\cdot e^{-n\alpha t}

• P\left(0\right) = \frac{1}{n} + c e^{-n\alpha t} = \frac{1}{n} + c
  • ⇒ c = P\left(0\right) - \frac{1}{n}, qu'on substitue dans P(t) :

• \displaystyle P\left(t\right) = \frac{1}{n}+\left[P\left(0\right)-\frac{1}{n}\right] e^{-n\alpha t}

• \displaystyle P\left(t\right) = \frac{1}{n}+\left[P\left(0\right)-\frac{1}{n}\right] e^{-n\alpha t} = \frac{1}{n}+\left[\frac{n-1}{n}\right]e^{-n\alpha t} car P\left(0\right)=1

• Q\left(t\right) = \frac{1}{n}+\left[0 -\frac{1}{n}\right]e^{-n\alpha t} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n} e^{-n\alpha t}

x est le nombre moyen de substitutions aléatoires par site (nombre total de substitutions divisé par la lngueur du mot).

• x ∈ [0, ∞ [
• x est “normalisé” par la longueur de mot, on peut comparer des “x” de séquences de longueurs différentes.
• x = (n-1) α t

Dans mes notes, j'ai dessiné un schéma avec :

• B vers non-B : (n-1) α
• non-B vers non-B : 1 - α
• non-B vers B : α

mais est-ce pertinent? Je ne sais plus. En tout cas, la réponse est

• F\left(x\right) = \frac{1}{n} + \frac{n-1}{n} e^{-\frac{n}{n-1} x} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} e^{-2x}
• G\left(x\right) = \frac{1}{n}-\frac{1}{n}e^{-\frac{n}{n-1}x} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-2x}

• F\left(x\right) = \frac{1}{n} + \frac{n-1}{n} e^{-\frac{n}{n-1} x} = \frac{1}{4}+\frac{3}{4} e^{-\frac{4}{3}x}
• G\left(x\right) = \frac{1}{n}-\frac{1}{n}e^{-\frac{n}{n-1}x} =\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\frac{4}{3}x}

: Traitement incomplet :