1. Calculer le nombre d'Euler en 4-connexité et le nombre d'Euler en 8-connexité des deux ensembles suivants. Faites le calcul de deux manières différentes : considérant les configurations locales et en comptant les faces, les arêtes et les commets.
2. Calculer l'arbre des composantes connexes de ces 2 ensembles aussi pour les deux connexités. Qu'en déduisez-vous?

Montrer que ces deux images ont les mêmes configurations locales de taille (n-1)x(n-1). Que peut-on en déduire sur la topologie d'une image binaire?

Pour tout n de Z on définit

• ouv₁ =
  • {n-1, n, n+1} si n est pair
  • { n } si n est impair

Pour tout point (m,n) du plan discret Z² on définit ouv(m,n) = ouv₁(m) x ouv<usb>1</Sub> (n).

On dit qu'une partie E du plan discret est un ouvert (selon le sens de Khalimski) si pour tout M de E on a ouv(M)⊆ E.

1. Calculer ouv(M) suivant la parité des coordonnées de M.
2. Donner des exemples d'ouverts, et d'ensembles non ouverts.
3. Montrer que
   1. ∅ et Z² sont ouverts.
   2. Toute union d'ouverts est un ouvert.
   3. Toute intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert.
4. On dit qu'un ensemble est un fermé si son complémentaire est un ouvert. Montrer que les fermés peuvent aussi êtres définis de manière similaire aux ouverts. Quels sont les ensembles qui sont à la fois ouverts et fermés? Donner un exemple de fermés et d'ensembles ni ouvert ni fermé. (Indication : introduire ferm(M) = {N : M ∈ ouv(N)} ).
5. On dit qu'un ensemble E est connexe (selon Khalimski) si pour tous ouverts O₁ et O₂, si E est l'union disjointe de O₁ ∩ E et de O₂ ∩ E alors O₁ ∩ E = ∅ ou O₂ ∩ E = ∅ . Caractériser les ensembles connexes selon Khalimski. (Indication : considérer la relation d'adjacence définie par la relation N ∈ ouv(N) ou M ∈ ouv(N) ).
6. En déduire que tout 4-connexe est connexe selon Khalimski, et que tout connexe selon Khalimski est 8-connexe. Donner un exemple de connexe selon Khalimski non 4-connexe et de 8-connexe non connexe selon Khalimski.

Géométrie Discrète – Distances