Il s'agit d'un problème d'énumération combinatoire efficace (ou très gros moyens de calcul) pour dénombrer (et lister, éventuellement) les ensembles de trils (trinucléotides ou trilettres) de A₄³ qui sont des codes circulaires, puis parmi ces ensembles, ceux qui sont maximaux, maximaux et autocomplémentaires, maximaux et C³, et (enfin) à la fois maximaux, autocomplémentaires et C³.

Pour cela, nous sommes équipés d'un test, le théorème “Letter diletter continued closed necklace” mais il y aurait 2⁶⁰-1 possibilités à étudier (la cardinalité de l'ensemble des parties de l'ensemble des trils après avoir écarté les quatre qui ne peuvent pas appartenir à un code circulaire, AAA, CCC, GGG, et TTT)! Il convient donc de les construire :

• soit par accroissements, rajoutant un tril s'il est admissible et cessant l'exploration dès qu'un ensemble est maximale;
• soit à partir des ensembles maximaux (si on les avait tous ce serait merveilleux, n'est-ce pas?).

Quelques observations :

• Si on ne faisait les accroissement qu'à partir des tril Axy et multipliait le résultat par quatre? En effet, si l'on prend cet arbre et échange A et C ou A et G ou A et T on retrouvera la même chose que si l'on était parti de ces graines. Donc, on trouvera toujours un multiple de 4 pour chaque cas recensé. Ca se vérifie pour les quelques indications que nous avons
  • maximaux de cardinal 14 : 192 = 48*4 = 4 * 3 * 16;
  • codes circulaires de cardinal 5 : 3,568,212 = 892,053 * 4 = 4 * 3 * 297,351
  • codes circulaires de cardinal 7 : 141,639,780 = 35,409,945 * 4 = 4 * 5 * 7,081,989 = 4 * 3 * 5 * 2,360,663
• Logiquement, je m'attendais à ce que, après division par 4, on trouve des multiples de 6 (les permutations des C,G, et T) mais vraisemblablement il y a des permutations qui donnent un ensemble identique à ce que donnent d'autres qu'il ne faut pas compter deux fois. Est-ce possible de les “anticiper” et corriger le compte par un calcul?

• pour chaque tril p_is_i de l'ensemble, s_i p_i (soit P(p_is_i), la rotation à gauche) ne doit pas appartenir à l'ensemble.
• pour chaque paire de trils p₁s₁ et p₂s₂ de l'ensemble, l'ensemble ne soit pas contenir s₁p₂ et s₂p₁ (mais peut contenir l'un d'eux?)
• pour chaque trois trils de l'ensemble, l'ensemble doit ne pas contenir au moins un de s₁p₂, s₂p₃, s₃p₁.
• enfin, pour chaque 4 trils de l'ensemble, il doit ne pas contenir au moins un de : s₁p₂, s₂p₃, s₃p₄, s₄p₁

Nous avons déjà noté les quatre trils qui ne peuvent pas appartenir à un code circulaire, AAA, CCC, GGG, et TTT – ils sont leurs propres rotations à gauche. Notons aussi que puisque R(l₁l₂l₃) = R(l₂l₃l₁), R(R(l₁l₂l₃) )